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국경선 길이의 수학
1940년대에 퀘이커교도이며 반전 평화주의자이며 동시에 수학자이며 물리학자이며 전쟁 심리학자인 리차드슨(Lewis F.
Richardson)은 국가간의 전쟁 발발의 다양한 요인들에 대한 연구를 하던 중에 두 국가 간의 국경선의 길이와 전쟁 발발과의 관계를 추가적으로
연구해 보고자 시도하였다.
모은 자료들에서 그는 국가간에 국경선 길이의 공표된 표기가 상당한 차이가 있다는 것을 확인할 수
있었다. 예를 들면 스페인과 포르투칼의 국경선 길이가 스페인측 공표기록은 987Km이고 포르투칼에서의 기록은 1214Km였으며 네델란드와
벨기에 국경선 길이는 각각 380km와 449km 이였다. 이는 해당 당사국이 의도적 기만이나 음모가 있어서 차이를 보인다는 것을 뜻하지는
않는다.
일반적으로 구부러진 선(곡선)의 길이를 측정하는 때를 생각해 보자. 적절한 측정 도구를 이용하여 곡선의 길이를 측정한다고
할 경우 곡선의 측정 원리는 곡선을 잘게 분할하면 직선으로 간주할 수 있으며 전통적인 유클리드 기하학에 의하면 이렇게 측정된 합으로 어떠한
곡선의 실제 길이에 접근하는 값을 구할 수 있다.
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내접 다각형과 원둘레 길이의 접근성 | 예를 들어 위의 원의 경우 원에 내접하는 다각형의 각의 수를 점점 증가하면 각 선분의 길이는 짧아지며 이에 따라
점점 내접 다각형은 원에 접근해가며 다각형의 각의 수를 무한으로 늘이면 결국 원과 같아진다. 위의 그림에서 오른 쪽의 그래프는 내접 다각형의
크기가 20각형에서 100각형까지 증가할 때 반지름 1인 원에 내접하는 다각형이 점점 6.2832에 접근 하는 것을 볼 수 있다.(지름으로
계산하면 파이(π)값인 3.1416..에 수렴)
그러면 아래의 영국 해안선의 길이를 측정해보자.
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척도의 길이가 짧아지면 해안선의 총길이는 길어지는 놀라운 역설이
발생한다. | 해안선의 길이를 측정하기 위하여 비행기를 타고 고도를 높여 올라가 보자. 점점 육지와 멀어지고 작아지며 전체
지구의 모양이 눈에 들어 올 것이다. 적절한 높이에서 영국 해안선 전체를 아래 그림의 왼쪽처럼 찍어보자. 그리고 이를 적절한 척도를 이용해
총길이를 구해보자. 이제 고도를 낮추어 가면 높은 고도에서 평탄한 곡선이 었던 해안선들이 복잡해 지면서 내해, 만, 곶, 방파제
등 다양한
해안선의 모양을 볼 수 있을 것다. 다시 이제 땅으로 내려와 간격이 1m인 분할 컴퍼스로 측정한다고 해보자. 그러면 공중에서 볼 수 없었던
오르막과 내리막 그리고 또 다른 지형들 때문에 낮은 고도에서 찍어 측정한 해안선 길이보다 훨씬
더 긴 해안선 길이를 구하게 될 것이다. 컴퍼스의
길이를 점점 줄여서 측정하면 그 결과는 점점 커지게 될 것이다.
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항공사진으로 영국의 해안선을 찍으면 고도를 낮출수록 해안선의 복잡한 모양이 더욱 드러나게
된다. |
위의 원의 경우에 비추어 해안선 길이의 측정에서 측정척도의 길이를 줄여가면 어떤 해안선 길이의
실제값에 접근할 것이라고 생각할 수 있다. 그러나 실제로는 그러한 기대를 완전히 뒤엎는 측정결과가 나타나게 되었다. 리차드슨은 측정의 단위(자의 길이)가 짧아지면 짧아질수록 해안선의 길이는
점점 길어진다는 것을 실제 측정을 통해 보여주었다.
즉, 리차드슨은
호주, 남아프리카, 영국, 독일, 포르투칼의 국경선 길이와 척도 크기 사이의 체계적 관계를
확인할 수 있는 결과를 연구하여 그들 간의 관계에 대한 통계를 출판하였다. 아래
그림의 왼쪽은 영국 해안선의 길이가 척도의 크기가
작아짐에 따라 지수함수로 급격히 증가하는 형태를 보이고 있다. 이 결과에서 오른쪽 그림은 척도의 크기와 국경선 길이의 추정치 간에 로그
변환을 하였을 때에 선형적으로 변해가는 관계를 보이고 있다.
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해안선이 길이는 척도의 길이가 짧아지면 지수함수의 형태로 길이가 길어진다. 이를 로그로 취하면 1차 선형(직선의
관계)으로 변환된다. | 다른 문제를 지적해 보자. 측정척도의 길이가 줄어들면 해안선의 길이는 무한히 길어진다고 해도 실제
측정에서는 양자 물리학의 원리에 의해 무한히 작은 척도를 생성할 수는 없다. 양자
물리학(quantum physics)에 의하면 양자의 측정에서
최소 측정단위인 플랑크 척도(Planck's length, 약 1.6162412*10^-35 미터) 이하의 측정 단위를 생성할 수가
없다.
리차드슨의 연구결과에 의해서 자연의 지리적 형태는 그 광범위한 측정척도의 범위를 고려하였을 때 측정척도가 작아질수록 곡선이나 도형의 참값에 접근해가는 유클리드 기하학이 보여주는 특징과는 완전히 다른 현상을 보이고 있다.
국경선을 마주하는 두
국가 모두가 성의를 다하여 측정한다 하더라도 이러한 불일치하는 결과적으로 필연적인 것이다. 스페인과 포르투칼의 국경선의 길이에서 포르투칼측의 길이가 길다는 것은 결국 포르투칼이 좀 더 정교한 척도를 이용하여 측정하였다는 것을 의미하며, 작은 나라인 포르투칼의 국가적 콤플렉스와 또
다른 염원이 국경선 길이의 측정에 녹아 있다고 상상해 볼 수도 있는 것이다.
평화주의자 리차드슨이 활약하던 1940년대의 분위기에서
동시대인들은 리차드슨의 연구 결과가 가지는 의미를 이해하지도 않았으며 이해할 수도 없었다. 국경선과 같은 기본적인 측정에 대한 이러한
불일치가 일어나는 원인은 우리가 가진 세계관과 인식의 구조에 대한 새로운 도전의 문을 여는 열쇠를 숨겨 놓고 있는 것이다. |
