자연은 프랙탈이다

프랙탈을 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 하나는 자신의 모양을 몇 단계에 걸쳐서 재귀적(再歸的)으로 수학적 규칙에 따라 축소시키고 회전시켜 만들어지는 결정형 프랙탈이고, 다른 하나는 형상의 일부분을 계속 확대할 때 전체 모습과 통계적으로 유사한 형상을 갖는 비결정형 프랙탈이다.

결정형 프랙탈의 예를 들면 코흐(Koch) 곡선, 시어핀스키(Sierpinski) 삼각형(가스켓), 피타고라스(Pythagoras) 나무 등이 있다. 비결정형 프랙탈의 예는 자연 세계에서 흔히 볼 수 있으며, 브로콜리, 콜리플라워, 기관지, 뇌, 고사리, 나무, 해바라기, 벌집, 소라 껍질, 눈꽃송이, 해안, 강줄기 등이 있다.

이외에도 우리를 둘러싸고 있는 자연계에는 복잡하고 불규칙한 모양이나 현상들이 가득하다. 구름이나 번개, 깨진 유리조각, 겨울철 유리창에 서리는 성에, 나무와 풀이 어우러진 숲과 산, 바다 속의 아름다운 산호 등등, 이렇게 다양한 모양들 안에서 어떤 공통성을 찾아낼 수 있을까? 이들 모두는 우연히 또는 순간적으로 이루어졌는가 하면, 오랜 시간에 걸쳐 형성된 것도 있다.

이제까지의 기하학은 이러한 것들에서 어떠한 법칙성이나 공통점을 찾아내지 못했으며, 아예 연구의 대상으로도 생각하지 않았다. 이들을 하나의 통일적인 관점에서 설명해 낸 수학자가 있다. 그렇다면 그는 천재 중의 천재이다. 천재는 복잡한 것을 단순하게 볼 줄 하는 능력을 가진 사람이다. 그가 바로 만델브로트인 것이다.

그의 천재성은 프랙탈(fractal)의 개념을 활용해서 자연을 해석했다는 점이다. 막상 알고 보면 만델브로트가 사용한 방법이란, 자연의 아름다움을 수치(數値)로써 표시한 것에 지나지 않지만 위대한 발견이란 으레 그렇게 시시한(?) 법이다.

자연계를 구성하는 현실의 물질은 어떤 일정한 크기의 원자나 분자에 의해 구성되어 있다. 한편, 수학에서 다루어지는 무한의 미세구조는 한없이 계속되는 상상의 산물이다. 수학과 현실의 이같은 불합치 때문에 자연을 프랙탈로 볼 수 없다고 할지도 모른다.

그러나 원자나 분자의 크기 역시 상상의 세계에서만 가능하리만큼 충분히 작으며, 프랙탈 구조로 근사적으로 흉내낼 수도 있다. 따라서 자연 그 자체를 프랙탈 도형으로 간주해도 된다.

비결정형 프랙탈(자연의 프랙탈) 

구름

산

숲

고사리

브로콜리

콜리플라워

눈꽃

눈의 결정

해안

강줄기

         
         번개                                                   뇌                                           기관지 구조