|
놀라운
수의 제곱근
기원전 6세기에 그리스 수학자 피타고라스와 그의 추종자들은 경외감을
가지고 숫자들을 대했다. 그들은 기하와 대수의 진리들이 인간이 도달할
수 있는 가장 완벽한 진리하고 믿었다.
그들은 수(數)가 만물의 근본이며, 만물은 수의 관계에 따라서 질서가
있는 코스모스(우주)를 만든다고 여겼다. 그들에게 있어서 수는 추상적인
개념이 아니라 공간적인 개념의 기하학적 도형처럼 생각되었다.
즉 1은 점(일종의 원자), 2는 직선, 3은 평면, 4는 입체라고 했으며,
태초에는 ‘혼돈’ 또는 ‘무질서’라는 카오스 상태였는데 1이라는
수가 생겨나 점과 선을 이루는 다른 여러 수를 낳았고 마침내 ‘조화’가
이루어져 ‘질서’ 즉 코스모스가 생겨났다고 믿었다.
그들이 가장 경건하게 믿은 확신들 가운데 하나가 자연수 혹은 정수들이
우주(질서)를 이해할 수 있는 열쇠를 가지고 있다는 것이었다.
따라서 피타고라스학파는 자신들이 ‘무리수’라고 이름붙인 기묘한
유형의 숫자가 발견되었을 때 매우 당혹스러울 수밖에 없었다.
피타고라스학파는 모든 수가 정수이거나 두 정수의 비율, 예컨대
12분의 11, 829분의 583 등으로 표시될 수 있다고 생각했다. 이는 50분의
43과 같은 수치는 50분의 1과 같은 단위길이 43개로 간주될 수 있음을
의미했다.
하지만 그들은 2의 제곱근을 두 정수의 비율로 표시할 수 없다는
사실을 발견했을 때 심한 충격을 받았다. 제곱했을 때 2가 되는 수는
수학 전반 특히 기하학에서 흔히 존재하고 있다.
예를 들면 한 변의 길이가 1인 정사각형에서 빗변의 길이는 2의 제곱근이
된다. 이 제곱근의 값은 여러 단계로 계산할 수 있다. 예컨대 10분의
14, 100분의 141, 1000분의 1414 등으로 보다 정확한 값에 접근할 수
있다. 하지만 분수의 숫자들이 아무리 커져도 2의 제곱근은 나타나지
않는다. 3, 5, 6, 7, 8, 10의 제곱근들도 정수로 표시할 수 없다.
 피타고라스학파는
“직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의
제곱과 같다.”고 하는 이 유명한 정리를 발견함과 동시에 이 정리로
무리수의 개념도 발견하였던 것이다.
피타고라스학파의 사람들은 죽음이 닥칠 경우에도 이러한 무리수의
발견을 절대 누설하지 말라는 엄중한 경고를 받았다. 그 후 피타고라스학파의
수학자인 히파소스가 이 사실을 누설한 후 갑자기 죽게 되자 사람들은
그가 천벌을 받은 것으로 생각할 정도였다.
피타고라스 이후 수학 역사에서는 -1의 제곱근과 같이 상상을 초월한
다른 유형의 숫자들이 잇달아 발견되었다.
수학시간에 배우고 있듯이 양수를 양수끼리, 음수를 음수끼리 각각
곱하면 그 결과는 항상 양수이다. 그러나 서로 곱했을 때 -1과 같은
음수가 되는 수들의 정체는 도대체 무엇인가?
16세기의 이탈리아 수학자인 지롤라모 카르다노는 소위 허수 문제를
탐구한 최초의 사람들 가운데 하나인데 그는 이 허수를 가리켜 “독창적이지만
쓸모없는 수”라고 말했다.
과거에는 가장 우수했던 수학자들마저 혼란에 빠뜨렸던 이 허수가
오늘날에는 다른 방법으로는 불가능한 계산에 이용되고 있으며, 만델브로트
집합을 통해 프랙탈 아트(Fractal Art)의 붓으로 역할하기에 이르렀다.
|
